Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.3

Перепишем $\tan^{6} (t)$ в виде ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $\tan (t)$ из $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $\tan (t)$ из $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ и $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sec (x)$ в виде $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 4.2

Применим обратное тождество.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.2

Объединим.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.3

Умножим $\csc (t)$ на $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.5

Объединим $\cot (t)$ и $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.6

Сократим выражение $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим на $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.6.2

Вынесем множитель $\cot (t)$ из ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 4.3.6.3

Сократим общий множитель.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 4.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Этап 4.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Этап 5

Поскольку производная $- \csc (t)$ равна $\csc (t) \cot (t)$ , интеграл $\csc (t) \cot (t)$ равен $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Этап 6

Найдем значение $- \csc (t)$ в $1.44546849$ и в $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Этап 7

Точное значение $\csc (\frac{π}{3})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.2.6.5

Найдем экспоненту.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$0.14679527 \dots$

Этап 10