Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})$ , вынося $x^{2}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Этап 3

Поскольку показатель степени $x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$