Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Этап 4

Найдем значение $\arctan (x)$ в $t$ и в $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Этап 5.2

Предел, когда $t$ стремится к $\infty$ , равен $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Этап 5.3

Найдем предел $\arctan (0)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Этап 5.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 5.4.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$