Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\sin^{4} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 6

Развернем ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 6.5

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 6.6

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.7

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.11

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 6.13

Добавим $2$ и $2$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6.14

Вычтем $u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6.15

Изменим порядок $- 2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Этап 6.16

Перенесем $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{4} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 14

Объединим $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ и $u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}))$

Этап 15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем значение $\frac{u^{5}}{5} + u$ в $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и в $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}))$

Этап 15.2

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и в $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.4

Добавим $1$ и $5$ .

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 15.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}))$

Этап 15.3.6

Чтобы записать $- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

Этап 15.3.7

Объединим $- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ и $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

Этап 15.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

Этап 15.3.9

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.2.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{32}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.2.3

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.2.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{32} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\frac{4 (\sqrt{2})}{32} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.2.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 (\sqrt{2})}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.5.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 \frac{\sqrt{2}}{12} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 (- 5) \frac{\sqrt{2}}{12} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.7.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.7.3

Сократим общий множитель.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.7.4

Перепишем это выражение.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.8

Объединим $- 5$ и $\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.9

Умножим $- 10 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.9.1

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} + 10 (\frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.9.2

Объединим $10$ и $\frac{1}{3}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.3

Чтобы записать $\frac{\sqrt{2}}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.4

Чтобы записать $- \frac{5 \sqrt{2}}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{8}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.5.2

Умножим $8$ на $3$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.5.3

Умножим $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.5.4

Умножим $6$ на $4$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{8}{8}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{8} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7.2

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{8}{8}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7.3

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6}{1}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7.4

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{24}{24}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{24}{24}$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.7.6

Умножим $3$ на $8$ .

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{24} + \frac{- 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4 + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.9.1

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2}$ .

$- (\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 4 + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.9.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.9.3

Умножим $10$ на $8$ .

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 80 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.9.4

Умножим $- 6$ на $24$ .

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 80 - 144}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.10

Вычтем $20 \sqrt{2}$ из $3 \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\frac{- 17 \sqrt{2} + 80 - 144}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.11

Вычтем $144$ из $80$ .

$- (\frac{\frac{- 17 \sqrt{2} - 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 17 \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2}) - 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.13

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2}) - 1 (64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (17 \sqrt{2}) - 1 (64)$ .

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2} + 64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.15

Перепишем $- (17 \sqrt{2} + 64)$ в виде $- 1 (17 \sqrt{2} + 64)$ .

$- (\frac{\frac{- 1 (17 \sqrt{2} + 64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.17.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24} \cdot \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.17.2

Умножим $- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.17.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{17 \sqrt{2} + 64}{24}$ .

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{5 \cdot 24} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.17.2.2

Умножим $5$ на $24$ .

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.18

Чтобы записать $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{60}{60}$ .

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{60}{60})$

Этап 16.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $120$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.19.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{60}{60}$ .

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2} \cdot 60}{2 \cdot 60})$

Этап 16.19.2

Умножим $2$ на $60$ .

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2} \cdot 60}{120})$

Этап 16.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{- (17 \sqrt{2} + 64) + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

Этап 16.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- (17 \sqrt{2}) - 1 \cdot 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

Этап 16.21.2

Умножим $17$ на $- 1$ .

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 1 \cdot 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

Этап 16.21.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

Этап 16.21.4

Перенесем $60$ влево от $\sqrt{2}$ .

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 64 + 60 \cdot \sqrt{2}}{120}$

Этап 16.21.5

Добавим $- 17 \sqrt{2}$ и $60 \sqrt{2}$ .

$- \frac{- 64 + 43 \sqrt{2}}{120}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{- 64 + 43 \sqrt{2}}{120}$

Десятичная форма:

$0.02657347 \dots$