Математический анализ Примеры

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

Этап 2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x}$

Этап 3.2.7

Объединим $\ln (\sin (x))$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.2.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.2.3

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \ln (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Разделим дроби.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.3.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 3.2.8.3.3

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (\ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$y' = (\ln (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 5.1.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)}$ и ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ и ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Умножим на $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.5.2.4

Разделим $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ на $1$ .

$y' = \ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.6

Чтобы записать $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.8

Изменим порядок множителей в $\frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (x))}{x}$