Математический анализ Примеры

$\ln^{2} (t) \cos (t)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = \ln^{2} (t)$ и $g (t) = \cos (t)$ .

$\ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

Этап 2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Этап 4

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{1}{t})$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{t}$ и $2$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{2}{t} \ln (t))$

Этап 5.2

Объединим $\frac{2}{t}$ и $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{2 \ln (t)}{t}$

Этап 5.3

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок членов.

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (t)$ .

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{2 \cos (t) \ln (t)}{t}$