Математический анализ Примеры

$lim_{y \to - \infty} \frac{2 - y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $y$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $y = - \sqrt{y^{2}}$ .

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - \frac{y}{y}}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $6$ на $1$ .

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{2 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{y}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 4.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- lim_{y \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 4.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Этап 4.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{y^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{0 + 6}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{6}}$

Этап 6.2.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Этап 6.2.4

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 6.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 6.2.5.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 6.2.5.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 6.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 6.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 6.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Десятичная форма:

$0.40824829 \dots$