Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем ${(5 - x^{3})}^{3}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{3} {(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}$ в виде ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 3

Умножим $5 - x^{3}$ на ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $5 - x^{3}$ на ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $5 - x^{3}$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1} {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Этап 3.4

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}]$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}$ в виде ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{- 5}{3}}]$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{5}{3}}$ и $g (x) = 5 - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3} u^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x^{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 10.2

Объединим ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ и $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем $5$ влево от ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 10.3.2

Перенесем ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Этап 11

По правилу суммы производная $5 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 15

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 15.2

Умножим $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (3 x^{2})$

Этап 17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $3$ и $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Этап 17.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Этап 17.3

Объединим $\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2}}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 17.4

Вынесем множитель $3$ из $15 x^{2}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 ({(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}$

Этап 18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{2}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\frac{5 x^{2}}{{(- x^{3} + 5)}^{\frac{8}{3}}}$