Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 - x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 2} x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{4 - 2^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 - x^{2}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.13

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.15

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.15.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.15.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.15.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.15.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.15.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x}$ в виде ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.14

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.16

Объединим $\frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.17

Перенесем $- 1$ влево от ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.18

Перепишем $- 1 {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.19

Перенесем ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.22

Умножим $\frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Этап 1.3.8

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Этап 1.4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Этап 1.4.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Этап 1.4.3

Перепишем ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{6 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.2

Чтобы записать $\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{2 x} \cdot 2 \sqrt{6 - x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ на $\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{\sqrt{2 x} (2 \sqrt{6 - x})} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.3.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}$ на $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{\sqrt{2 x}}{2 \sqrt{6 - x} \sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{\sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{- 2 x}$

Этап 1.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{- 2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{- 2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.9

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.10

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.12

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.14

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot lim_{x \to 2} 6 - x}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.15

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.16

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{4} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{4}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + 2}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.2.8

Добавим $4$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4 (6 - 2)}}}{2}$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4 \cdot 4}}}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{16}}}{2}$

Этап 4.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4^{2}}}}{2}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{4}}{2}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{6}{4}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{6}{2 \cdot 4}}{2}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{6}{8}}{2}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 (3)}{8}}{2}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}}{2}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}}{2}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3}{4}}{2}$

Этап 4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.8

Умножим $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2}$

Этап 4.8.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Этап 4.9

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $\frac{3}{8}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{8 \cdot 2}$

Этап 4.9.2

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{3}{16}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{16}$

Десятичная форма:

$- 0.1875$