Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \cos (\frac{1}{2} x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \cos (\frac{1}{2} x)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{1}{2} x)) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{x}{2}) (2 x) d x$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 4 \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - (4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x)$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (\frac{x}{2})$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{1}{2} x)) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - (- 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x))$

Этап 8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Этап 9

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 9.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u)$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \cdot 2 d u)$

Этап 10.3

Перенесем $2$ влево от $\cos (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int 2 \cos (u) d u)$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 (2 \int \cos (u) d u))$

Этап 12

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \int \cos (u) d u)$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$

Этап 14

Перепишем $x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$ в виде $2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 16.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 (x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 16.4

Умножим $4$ на $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 x \cos (\frac{x}{2}) - 16 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} \sin (\frac{1}{2} x) + 8 x \cos (\frac{1}{2} x) - 16 \sin (\frac{1}{2} x) + C$