Математический анализ Примеры

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ в виде $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

Этап 4.1.2

Развернем $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим $\frac{1}{\ln (x)}$ и $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.5.3

Умножим $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ на $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.7

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

Этап 4.8

Объединим $\ln (\ln (x))$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Этап 4.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Объединим $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Этап 4.9.2.2

Объединим $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ и $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$