Математический анализ Примеры

$- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$

Этап 1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{- 2 x^{3}}$ и $g (x) = x^{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}])) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 (3 x^{2}))) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 6 x^{2})) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 6

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2 + 4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 7

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 \cdot e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8} \cdot 4}$

Этап 9.3

Перенесем $4$ влево от $x^{8}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 \cdot x^{8}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 x^{8}}$

Этап 10.1.2

Изменим порядок множителей в $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}$ .

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Этап 10.2

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ из $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ из $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Этап 10.2.2

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ из $- 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)}{4 x^{8}}$

Этап 10.2.3

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ из $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{4 x^{8}}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ .

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{4 x^{8}}$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{8}$ .

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{8}}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ .

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 x^{8}}$

Этап 10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $2 x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Этап 10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Этап 10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{5}}$

Этап 10.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 2)}{2 x^{5}}$

Этап 10.6

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 1 (2))}{2 x^{5}}$

Этап 10.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3}) - 1 (2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Этап 10.8

Перепишем $- (3 x^{3} + 2)$ в виде $- 1 (3 x^{3} + 2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 1 (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Этап 10.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Этап 10.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Этап 10.11

Умножим $\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$ на $1$ .

$\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$