Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} - x}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x - x}{x} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Этап 1.2.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$\int_{- 1}^{1} x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ и $- x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Этап 5.2.2.10

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Этап 5.2.2.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Этап 5.2.2.12

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Этап 5.2.2.14

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 3}{2}$

Этап 5.2.2.16

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 5.2.2.17

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 5.2.2.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 5.2.2.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.2.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1}$

Этап 5.2.2.17.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 6