Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.4

Приравняем $- \sin (x) + \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- \sin (x) + \cos (x)$ к $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.2

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.6

Разделим дроби.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.4.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Этап 2.4.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Этап 2.4.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 2.4.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 2.4.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 2.4.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.4.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.4.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.4.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.4.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.4.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.4.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.4.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.4.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.4.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.4.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Проверим каждое решение, подставив его в $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ и решив.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = e^{x} \cos (x)$ в точке $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{\frac{π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = e^{x} \cos (x)$ в точке $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.3

Объединим $e^{\frac{5 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = e^{x} \cos (x)$ в точке $x = \frac{9 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Объединим $e^{\frac{9 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Решим исходную функцию $f (x) = e^{x} \cos (x)$ в точке $x = 10.21017612$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10.21017612$ .

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Этап 7

Решим исходную функцию $f (x) = e^{x} \cos (x)$ в точке $x = 13.35176877$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $13.35176877$ .

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Этап 8

Горизонтальные касательные функции $f (x) = e^{x} \cos (x)$ ― $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Этап 9