Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x + 1$ и $d v = \sqrt{x + 3}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Этап 4.3

Добавим $- 2$ и $3$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $3$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.5.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.7

Умножим $2$ на $8$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8

Объединим $2$ и $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.9

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.10

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.14

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.17

Добавим $32$ и $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.18

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.19

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.20

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.20.1

Сократим общий множитель.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.20.2

Перепишем это выражение.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.21

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.22

Объединим $\frac{2}{5}$ и $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.23

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.24

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Этап 6.3.25

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Этап 6.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Этап 6.3.27

Вычтем $2$ из $64$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Этап 6.3.28

Умножим $\frac{62}{5}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.29

Умножим $62$ на $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.30

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

Этап 6.3.31

Чтобы записать $\frac{34}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

Этап 6.3.32

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.32.1

Умножим $\frac{34}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

Этап 6.3.32.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

Этап 6.3.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

Этап 6.3.34

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.34.1

Умножим $34$ на $5$ .

$\frac{170 - 124}{15}$

Этап 6.3.34.2

Вычтем $124$ из $170$ .

$\frac{46}{15}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{46}{15}$

Десятичная форма:

$3.0\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{1}{15}$

Этап 8