Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{1}{x^{2}}) \\ - 0.1 & - 0.50636564 \\ - 0.01 & - 0.38780942 \\ - 0.001 & - 0.38780942 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $- 0.388$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $- 0.388$ .

$- 0.388$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{1}{x^{2}}) \\ 0.1 & - 0.50636564 \\ 0.01 & - 0.38780942 \\ 0.001 & - 0.38780942 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $- 0.388$ . Таким образом, предел $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $- 0.388$ .

$0^{2} \cdot - 0.388$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot - 0.388$

Этап 9.2

Умножим $0$ на $- 0.388$ .

$0$