Математический анализ Примеры

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Этап 2

Развернем $(u - 4) u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Этап 2.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$