Математический анализ Примеры

$r = \csc (θ) \cot (θ)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\csc (θ) \cot (θ))$

Этап 2

Производная $r$ по $θ$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \csc (θ)$ и $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\csc (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3.2

Производная $\cot (θ)$ по $θ$ равна $- \csc^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3.3

Возведем $\csc (θ)$ в степень $1$ .

$- (\csc^{1} (θ) \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\csc (θ)}^{1 + 2} + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3.6

Производная $\csc (θ)$ по $θ$ равна $- \csc (θ) \cot (θ)$ .

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 3.7

Возведем $\cot (θ)$ в степень $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot (θ))$

Этап 3.8

Возведем $\cot (θ)$ в степень $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot^{1} (θ))$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) {\cot (θ)}^{1 + 1}$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) \cot^{2} (θ)$

Этап 3.11

Изменим порядок членов.

$- \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$