Математический анализ Примеры

$x = \sqrt{y} + \sqrt[3]{y}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{y}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y'$

Этап 4.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Этап 4.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y'$

Этап 4.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y'$

Этап 4.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y'$

Этап 4.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y'$

Этап 4.3.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Этап 4.3.10

Перенесем $y^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 6.2.2

Так как $2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 6.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.7

НОК $2, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 6.2.8

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 6.2.9

НОК $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.2.10

НОК $2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $6$ и переменной части.

$6 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ умножим на $6 y^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ на $6 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.4

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 6 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.7

Объединим $2$ и $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.8

Сократим общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.8.1

Сократим общий множитель.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.8.2

Перепишем это выражение.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $6 y^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y' y^{\frac{1}{6}}$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.4.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y'$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2 = 6 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.4.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ на $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ на $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ .

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

Этап 6.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$