Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (t^{3} - 9 t) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} t^{3} - 9 t d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} t^{3} d t + \int_{- 1}^{1} - 9 t d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 9 t d t$

Этап 4

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{- 1}^{1} - 9 \int_{- 1}^{1} t d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{- 1}^{1} - 9 (\frac{1}{2} t^{2}]_{- 1}^{1})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{- 1}^{1} - 9 (\frac{t^{2}}{2}]_{- 1}^{1})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} t^{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 9 (\frac{t^{2}}{2}]_{- 1}^{1})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1}{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4 (0)}{4} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1} - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 - 9 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$0 - 9 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 - 9 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - 9 \frac{1 - 1}{2}$

Этап 6.2.3.11

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 - 9 (\frac{0}{2})$

Этап 6.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$0 - 9 \frac{2 (0)}{2}$

Этап 6.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 - 9 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - 9 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - 9 (\frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Этап 6.2.3.13

Умножим $- 9$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 6.2.3.14

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 7