Математический анализ Примеры

$\int t^{2} (\sqrt[3]{t} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}}) + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 3.3

Изменим порядок $t^{2}$ и $- 1$ .

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{2 + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int t^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.6

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int t^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\int t^{\frac{6 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.8.2

Добавим $6$ и $1$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.11

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.13.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.14

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - (t^{2} t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Этап 3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.16

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.17

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Этап 3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Этап 3.19.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{\frac{7}{3}} d t + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{\frac{7}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{\frac{5}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$