Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{3 x^{2} + x}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x^{1}}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x \cdot 1}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x + 1)}}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 10.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 10.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 11

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - 0}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим $3 \cdot 0 + 0$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 \cdot 0 + 0}}{1 - 0}$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 0}}{1 - 0}$

Этап 12.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{0}}{1 - 0}$

Этап 12.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{0^{2}}}{1 - 0}$

Этап 12.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 0}{1 - 0}$

Этап 12.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 0}{1 + 0}$

Этап 12.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 0}{1}$

Этап 12.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 12.5

Разделим $0$ на $1$ .

$0$