Математический анализ Примеры

$\int {(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2}$ в виде $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ .

$\int (e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.2

Развернем $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{2 x + 2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\int e^{4 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int e^{4 x} - e^{2 x} e^{- 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.3

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Перенесем $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - (e^{- 2 x} e^{2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{4 x} - e^{- 2 x + 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.3.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\int e^{4 x} - e^{0} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.4

Упростим $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.5

Умножим $e^{- 2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - (e^{2 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{4 x} - 1 - e^{2 x - 2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.5.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{0} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.6

Упростим $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x} d x$

Этап 1.3.1.8

Умножим $e^{- 2 x}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Перенесем $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) d x$

Этап 1.3.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x - 2 x} d x$

Этап 1.3.1.8.3

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 4 x} d x$

Этап 1.3.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 4 x} d x$

Этап 1.3.1.10

Умножим $e^{- 4 x}$ на $1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + e^{- 4 x} d x$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 2 + e^{- 4 x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{4 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 4

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 6

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{- 4 x} d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = - 4 x$ . Тогда $d u_{2} = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Этап 9.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{4} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$