Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{- 2 x^{7}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}]$

Этап 1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ и $g (x) = x^{7}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{5}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.8

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + 0) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.10

Добавим $10 x^{4} + 12 x^{3}$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Этап 3.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Этап 3.12.2

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3})$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Этап 3.12.2.2

Вынесем множитель $x^{6}$ из $- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Этап 3.12.2.3

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{14}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$

Этап 5

Умножим $\frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8} \cdot 2}$

Этап 6

Перенесем $2$ влево от $x^{8}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 \cdot x^{8}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 x^{8}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{10 x \cdot x^{4} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- \frac{10 (x^{4} x) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{10 (x^{4} x^{1}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{10 x^{4 + 1} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x \cdot x^{3} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x^{1}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{3 + 1} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.5

Умножим $2$ на $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.6

Умножим $3$ на $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.1.7

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.2

Вычтем $14 x^{5}$ из $10 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 12 x^{4} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.3.3

Вычтем $21 x^{4}$ из $12 x^{4}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x^{4}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - (9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{5}) - (9 x^{4})$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.7

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)}{2 x^{8}}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Этап 7.9

Перепишем $- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ в виде $- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ .

$- \frac{- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Этап 7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Этап 7.12

Умножим $\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$ на $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$