Математический анализ Примеры

$y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}]$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (1 + x)$ и $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{1 + x}$ и $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \cdot 1 - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.6

Умножим $\frac{x}{1 + x}$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $\frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) (\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.8.3

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.8.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \cdot 1)}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.10.2

Объединим $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}$ и $\frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{(1 + x) x^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + 1 (- \ln (1 + x)) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.1.2

Умножим $- \ln (1 + x)$ на $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) - x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- \ln (1 + x)) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.2.4

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Этап 3.11.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1} x^{2}}$

Этап 3.11.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1 + 2}}$

Этап 3.11.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{3}}$

Этап 3.11.4

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$