Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Этап 1.3.8

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Этап 1.3.9.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 1.3.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.14

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + 0}$

Этап 1.3.16

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$