Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} (4 x^{3} - 6 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} 4 x^{3} - 6 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 6 x d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 6 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 6 x d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 6 x d x$

Этап 6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) - 6 \int_{1}^{2} x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (4 - \frac{1}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Умножим $4$ на $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Объединим $4$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Умножим $4$ на $15$ .

$\frac{60}{4} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $60$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1} - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$15 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$15 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$15 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$15 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$15 - 6 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$15 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.3.14

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$15 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.3.15

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$15 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 8.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.1

Умножим $2$ на $2$ .

$15 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Этап 8.2.3.17.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$15 - 6 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.3.18

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{2}$ .

$15 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Этап 8.2.3.19

Умножим $- 6$ на $3$ .

$15 + \frac{- 18}{2}$

Этап 8.2.3.20

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Этап 8.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Этап 8.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$15 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$15 + \frac{- 9}{1}$

Этап 8.2.3.20.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$15 - 9$

Этап 8.2.3.21

Вычтем $9$ из $15$ .

$6$

Этап 9