Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{- 1} (u - \frac{1}{u^{2}}) d u$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{- 1} u - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{- 1} u d u + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7.2

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2}) - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - 2 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.7

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.8

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.10.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1 - 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.10.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (- \frac{1}{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.13

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} - (- (- 1 \cdot 1) + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} - (- - 1 + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.3.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + \frac{1}{- 2})$

Этап 7.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} - (1 - \frac{1}{2})$

Этап 7.3.18

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3}{2} - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{2} - \frac{2 - 1}{2}$

Этап 7.3.20

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Этап 7.3.22

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 7.3.23

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 7.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 7.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1}$

Этап 7.3.23.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 8