Математический анализ Примеры

$y = \csc (x) (x + \cot (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = x + \cot (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [x + \cot (x)] + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\csc (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc (x) (1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.3.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 5.3.5

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x))$

Этап 5.3.6

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x))$

Этап 5.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1}$

Этап 5.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \cot^{2} (x)$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- x \cot (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 5.5.3

Умножим на $1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 - \csc^{3} (x)$

Этап 5.5.4

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 5.5.5

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 - \csc^{2} (x))$

Этап 5.6

Изменим порядок $1$ и $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) + 1)$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) + 1)$

Этап 5.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x) - 1))$

Этап 5.10

Применим формулу Пифагора.

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Этап 5.11

Вычтем $\cot^{2} (x)$ из $- \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - 2 \cot^{2} (x))$

Этап 5.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Этап 5.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \csc (x) x \cot (x) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Этап 5.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$

Этап 5.15

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$- x \csc (x) \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$