Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{3 (\ln (9 x + 10) + 1)}{4 ({(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{3}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{4} lim_{x \to 4} \frac{\ln (9 x + 10) + 1}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 4

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 6

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 7

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Этап 10

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Этап 13

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Этап 14

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (36 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 16.1.2

Добавим $36$ и $10$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(8 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 16.2.2

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$

Этап 16.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$ .

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Десятичная форма:

$1.14806024 \dots$