Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt[3]{5 - x}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 - x$ .

$u_{lower} = 5 - 0$

Этап 1.3

Вычтем $0$ из $5$ .

$u_{lower} = 5$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 - x$ .

$u_{upper} = 5 - 1 \cdot 5$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$u_{upper} = 5 - 5$

Этап 1.5.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{5}^{0} \frac{- 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{5}^{0} - \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{5}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int_{5}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{5}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{5}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$- \int_{5}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int_{5}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{5}^{0})$

Этап 6

Объединим $\frac{3}{2}$ и $u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{5}^{0})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ в $0$ и в $5$ .

$- ((\frac{3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.5

Умножим $3$ на $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.7

Вычтем $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$ из $0$ .

$- - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Этап 7.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Этап 7.2.9

Умножим $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Десятичная форма:

$4.38602660 \dots$

Этап 9