Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2}{x^{3} + 1} d x$

Этап 1

Разделим $3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2$ на $x^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{5} + 0 + 0 + 3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											-	$2 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$2$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 0 + 0 - 2$ .

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$
													+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 3 x^{2} - 2 + \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Этап 8

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Этап 9

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 9.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 10.3

Перенесем $3$ влево от $u_{1} + 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 13

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 13.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 13.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 13.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$