Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Запишем $- 2$ как $- 1$ плюс $- 1$

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.4

Перенесем круглые скобки.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x - 1 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 1 e^{x}$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$