Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{x^{- 2} + 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 4}$

Этап 10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}$

Этап 11

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4}$

Этап 12

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + 4}$

Этап 12.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ и $0 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Этап 12.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $0 \cdot 2$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Этап 12.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $0 \cdot 3$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Этап 12.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Этап 12.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 (0) + 4}$

Этап 12.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Этап 12.2.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Этап 12.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Этап 12.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Этап 12.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Этап 12.2.2.2

Умножим $0$ на $3$ .

$\frac{0 + 0}{0 + 1}$

Этап 12.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Этап 12.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0$