Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{x}{3} + 6 \sqrt{x})}^{3}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 10

Объединим $6$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 12

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем ${(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ в виде $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 ((\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.2

Развернем $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{x}{3} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Умножим $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{x}{3}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 6 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 (2) \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 \cdot 2 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.10

Добавим $2$ и $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.12

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.12.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1 + 1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{2}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.12.5

Разделим $2$ на $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{1}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.13

Упростим $6 \cdot 6 x^{1}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.1.14

Умножим $6$ на $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.3.2

Добавим $2 x^{\frac{3}{2}}$ и $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 \frac{x^{2}}{9} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$(3 \frac{x^{2}}{3 (3)} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.5.1.2

Сократим общий множитель.

$(3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.5.1.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{x^{2}}{3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.5.3

Умножим $36$ на $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14.6

Развернем $(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Объединим.

$\frac{x^{2} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.4

Объединим.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3}{3 x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3 x^{- \frac{1}{2}}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.6.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.6.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.7

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.8

Разделим $x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.9.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.10

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.10.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.11

Умножим $3$ на $12$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{2}{2}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.12

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{1} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.13

Упростим.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.14.1

Вынесем множитель $3$ из $108 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.15

Умножим $108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.15.1

Объединим $108$ и $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{108 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.15.2

Умножим $108$ на $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.15.3

Объединим $x$ и $\frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + \frac{x \cdot 324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.16

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \cdot 324 x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 14.7.17

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.17.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 324$

Этап 14.7.17.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.17.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 324$

Этап 14.7.17.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 324$

Этап 14.7.17.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 324$

Этап 14.7.17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 324$

Этап 14.7.17.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 324$

Этап 14.7.18

Перенесем $324$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 14.8

Добавим $x^{\frac{3}{2}}$ и $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 14.9

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 72 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$