Математический анализ Примеры

$\sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 1.8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Этап 1.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Этап 1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 1.12.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.12.3

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.12.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.12.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.4

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) (- \sin (x))$ и $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.4.2

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.4.3

Добавим $\cos (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.5.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 1.12.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Этап 1.12.5.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 1.12.5.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 1.12.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.12.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 1.12.6

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 2.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$