Математический анализ Примеры

$x^{2} y = y - 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 7)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 2.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' + 0$

Этап 3.4

Добавим $y'$ и $0$ .

$y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y = y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y - y' = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' - y' = - 2 x y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - y' = - 2 x y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} - 1) = - 2 x y$

Этап 5.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' (x^{2} - 1^{2}) = - 2 x y$

Этап 5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x - 1)) = - 2 x y$

Этап 5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ на $(x + 1) (x - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.6.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$