Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ и $3 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 3 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1 + 9}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$\frac{10}{3} - (0 + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{10}{3} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - 0 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.13

Добавим $\frac{10}{3}$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.14

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.16

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.16.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.18

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

Этап 8.2.3.19

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2}{2}$

Этап 8.2.3.20

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 8.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 8.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} + \frac{- 1}{1}$

Этап 8.2.3.20.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{10}{3} - 1$

Этап 8.2.3.21

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.2.3.22

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 8.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 8.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.24.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{10 - 3}{3}$

Этап 8.2.3.24.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{3}$

Этап 10