Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} 6 \sqrt{x + 4} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{0}^{5} \sqrt{x + 4} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Этап 2.5

Добавим $5$ и $4$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$6 \int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $9$ и в $4$ .

$6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $27$ .

$6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Сократим общий множитель.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 6.2.9.2

Перепишем это выражение.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Этап 6.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Этап 6.2.11

Умножим $2$ на $8$ .

$6 (18 - \frac{16}{3})$

Этап 6.2.12

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 6.2.13

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 6.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 6.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.1

Умножим $18$ на $3$ .

$6 \frac{54 - 16}{3}$

Этап 6.2.15.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$6 (\frac{38}{3})$

Этап 6.2.16

Объединим $6$ и $\frac{38}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 38}{3}$

Этап 6.2.17

Умножим $6$ на $38$ .

$\frac{228}{3}$

Этап 6.2.18

Сократим общий множитель $228$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.1

Вынесем множитель $3$ из $228$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3}$

Этап 6.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3 (1)}$

Этап 6.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{76}{1}$

Этап 6.2.18.2.4

Разделим $76$ на $1$ .

$76$

Этап 7