Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.6.2.2

Добавим $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Этап 1.3.7

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Этап 1.3.8

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Этап 1.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Этап 1.3.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Этап 1.3.9.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 1.3.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.14

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + 0}$

Этап 1.3.16

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.4

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы записать $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.2

Чтобы записать $- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.5

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.7

Умножим $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.11

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.12.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.3.12.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Этап 1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}} \cdot \frac{1}{2 x - 2}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}$ на $\frac{1}{2 x - 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Этап 2.1.3

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Этап 2.1.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $3 x^{1} (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Этап 2.1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Этап 2.1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (x - 1)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.5.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Найдем предел $x^{1}$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.4.2

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Умножим $1 - 1 \cdot 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.3

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Этап 3.3.6

Упростим.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1)]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \cdot 1}$

Этап 3.3.14

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + x - 1}$

Этап 3.3.15

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.4

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы записать $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.2

Чтобы записать $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.7

Умножим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.11

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.3.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Этап 3.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.6

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Этап 4.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 4.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 4.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 5.3

Найдем предел $x^{1}$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 5.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим $2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1}$

Этап 6.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{1}$

Этап 6.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Этап 6.5

Разделим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.6

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 6.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$