Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Этап 5

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $2 x$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 6.1.2

Найдем значение $- \cot (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.6

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.7

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.9

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.1.3.10

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 6.2.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Этап 6.2.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2} - 1$

Десятичная форма:

$0.57079632 \dots$