Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (3 x^{3} - x^{2} + x - 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} - x^{2} + x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ и $- x]_{- 1}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в $1$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1 - 1}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$3 (\frac{0}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.5

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$3 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.6

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{1 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.13

Добавим $1$ и $1$ .

$0 - \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.14

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$- \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.15

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.16

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.18

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.19

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.21.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.21.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.23

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Этап 11.2.4.24

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Этап 11.2.4.25

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Этап 11.2.4.26

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 11.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Этап 11.2.4.28

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 11.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 - 3}{2}$

Этап 11.2.4.30

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 4}{2}$

Этап 11.2.4.31

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.31.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 11.2.4.31.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.31.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 11.2.4.31.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.31.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2}{1}$

Этап 11.2.4.31.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{2}{3} - 2$

Этап 11.2.4.32

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.4.33

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.35.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 2 - 6}{3}$

Этап 11.2.4.35.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Этап 11.2.4.36

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$- 2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 2 \frac{2}{3}$

Этап 13