Математический анализ Примеры

$\int (\tan^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 4) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \tan^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int \cot^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \cot^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \cot^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \cot^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int \cot^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- x + C + \tan (x) + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \tan (x) + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 d x$

Этап 10

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C - x + C - \cot (x) + C + \int 4 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \tan (x) + C - x + C - \cot (x) + C + 4 x + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x$ из $- x$ .

$C + \tan (x) + C - 2 x + C - \cot (x) + C + 4 x + C$

Этап 12.1.2

Добавим $- 2 x$ и $4 x$ .

$C + \tan (x) + C + C - \cot (x) + C + 2 x + C$

Этап 12.2

Упростим.

$\tan (x) - \cot (x) + 2 x + C$