Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{2 x - 6}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{2 x - 6}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 6}{x}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{2 - \frac{6}{x}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 3.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.8.3

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.8.4

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.2.9

Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.3

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.7

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.8

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.12

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.13

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.14

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.15

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Этап 5.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Этап 5.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 \cdot 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 6 \cdot 0}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 6$ на $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Этап 7.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$