Математический анализ Примеры

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ на $y^{2} + x y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ на $y^{2} + x y^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| 1 + x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \ln (| 1 + x |) + 3 C$

Этап 3.3

Упростим $3 \ln (| 1 + x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y^{3} = \ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + C}$