Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Этап 1.3

Поскольку функция $\ln (x^{3})$ стремится к $\infty$ , произведение отрицательной константы $- 6$ и функции стремится к $- \infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $- 6$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

Этап 1.3.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.3

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.5

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.6

Добавим $2 x + 3$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Этап 3.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x^{3})$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Этап 3.8.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

Этап 3.13

Объединим $- 3$ и $\frac{6}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

Этап 3.14

Умножим $- 3$ на $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

Этап 3.15

Объединим $\frac{- 18}{x^{3}}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 3.16

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 18 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

Этап 3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Этап 3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Этап 3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

Этап 3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 7

Объединим $- 2 x$ и $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

Этап 11.3

Объединим $- 3$ и $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

Этап 12

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\infty$