Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{5 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.3

Умножим $\sin (3 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.7.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (4 x)$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Перенесем $3$ влево от $\cos (4 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.12

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)}{1}$

Этап 2.4

Разделим $3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (4 x))$

Этап 3.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Этап 3.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Этап 3.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Этап 3.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x))$

Этап 3.13

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot \cos (0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.7

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.8

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.9

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Этап 5.1.10

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot \sin (0))$

Этап 5.1.11

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot 0)$

Этап 5.1.12

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0)$

Этап 5.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 3$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $3$ .

$\frac{3}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$0.6$