Математический анализ Примеры

$\int t (2 t - 3 \sqrt{t}) d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t (2 t - 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t (2 t) + t (- 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2.2

Изменим порядок $t$ и $2$ .

$\int 2 \cdot t \cdot t + t (- 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2.3

Изменим порядок $t$ и $- 3$ .

$\int 2 \cdot t \cdot t - 3 \cdot t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 2 (t^{1} t) - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{1}) - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 t^{1 + 1} - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.8

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Этап 2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Этап 2.12

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 t^{2} d t + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int t^{2} d t + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 3 \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 3 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{3}) t^{3} - 3 (\frac{2}{5}) t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{3} - 3 (\frac{2}{5}) t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{3} t^{3} + \frac{- 3 \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2}{3} t^{3} + \frac{- 6}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} t^{3} - \frac{6}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$