Математический анализ Примеры

${(x + y)}^{2} = 2 x + 2 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + 2 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

Этап 2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Этап 2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Этап 2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.7.2

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y y'$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Этап 2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x + 2 x y' + 2 y + 2 y y'$

Этап 2.10.3

Изменим порядок членов.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 + 2 y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$2 y' + 2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y = 2 y' + 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y'$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y - 2 y' = 2$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - 2 y' = 2 - 2 x$

Этап 5.2.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y' + 2 y y' - 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' y - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' y + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 2 y' y$ .

$2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ на $2 (x + y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ на $2 (x + y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - x - y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3

Сократим общий множитель $1 - x - y$ и $x + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - x - y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - (x) - y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - y}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - (y)}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1 + x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x + y)}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.6

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.7

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Этап 5.4.3.2.3.8

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y' = - 1$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1$