Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ из $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Этап 4.13

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Этап 4.14

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ в виде произведения.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 4.16

Умножим $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.19

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.21

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Этап 6.3

Умножим обе части на $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$